Question

如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别

如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为A（14，0）、B（14，3）、C（4，3），点P、Q为两动点，同时从原点出发，分别作匀速运动，其中P点沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，速度为每秒2个单位．且当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）写出点Q分别在OC和CB上时的坐标（用含t 的表代数式示）．
（2）是否存在t的值，使得OPQC为等腰梯形？若存在，求出相应的t 值和P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在t的值，使得PQ把梯形OABC的面积分成相等的两部分？若存在，求出相应的t 值和P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)
OA = 14, P需14秒到达A
OC = 5, CB = 10, OC-B长15, Q需15/2秒到达B
B先到达自己的终点
t秒时, Q行程2t
(i) 0 < t ≤ 5/2秒, Q在OC上, OQ = 2t
Q的横坐标: OQcos∠COA = 2t*4/5 = 8t/5
Q的纵坐标: OQsin∠COA = 2t*3/5 = 6t/5
Q(8t/5, 6t/5)
(ii) 5/2 < t ≤ 15/2秒, Q在CB上
Q的横坐标 = CQ的横坐标 + 2t - OC = 8t/5 +2t - 5 = 18t/5 - 5
Q的纵坐标 = 3
Q(18t/5 - 5, 3)

(2)
t秒时, P行程t, P(t, 0)
OPQC为等腰梯形, 须OC = PQ = 5
PQ² = 25 = (18t/5 - 5 - t)² + 3²
t = 45/13 > 5/2, 满足前提
舍去t = 5/13, 此时Q在OC上
P(45/13, 0), Q(97/13, 3)

(3)
梯形OABC的面积S = (1/2)(CB + OC)*AB = (1/2)(10 + 14)*3 = 36
梯形ABQP的面积 = S/2 = 18 = (1/2)(PA + QB)*AB = (1/2)*3(PA + QB)
PA + QB = 12 = 14 - t + 14 - (18t/5 - 5)
t = 105/23 (5/2 < t < 15/2, 满足前提)
P(105/23, 0), Q(263/23, 3)

Answer 2

解：（1）过C做CE垂直OA于E
E点（4,0）
CE=3，OE=4；OC=√（CE²+OE²）=5
cos∠COE=OE/OC =4/5
sin∠COE=CE/OC =3/5

Q 在OC时，OQ=2t
x=OQcos∠COE=4/5.2t=1.6t
y=OQsin∠COE=3/5.2t=1.2t
即（x，y）=（1.6t，1.2t）

Q在CB上时，
y=3
Q到C点时，t=OC/2=2.5
超过C点时，CQ=（t-2.5）*2=2t-5
∴x=OE+CQ=4+2t-5=2t-1
即（x，y）=（2t-1,3）

（2）假设存在，则满足
P点的x坐标比Q点大4
（连接PQ；过Q做QF垂直OP于F，则PQ=5，QF=3，FP=4）
则t-（2t-1）=4
解得t=-3
说明不存在这样的点

（3）PQ分的两边都是梯形，且高相等，要面积相等只要求上下底的和相等即可
P点坐标（t，0）
Q点坐标（2t-1,3）
对梯形OPQC
上底CQ=2t-5（第一问中证过）
下底OP=t
对梯形PABQ
上底QB=14-（2t-1）=15-2t
下底PA=14-t
则
2t-5+t=15-2t+14-t
解得t=34/6=17/3
此时Q坐标（31/3,3）
P点坐标（17/3,0）

Answer 3

（1）Q在OC上的坐标为（1.8t，1.6t）且0≤t≤2.5；在CB上的坐标为（2t-1，3）且2.5＜t≤7.5。
（2）不存在。因为CB∥OA，因此使得OPQC为等腰梯形的前提条件就是将CB、OA作为梯形的两个平行底边（让OC∥PQ时是平行四边形），而且依据OC的情况看要求在某个t（0≤t≤2.5） 时刻，P的横坐标比Q的多4个单位，但是由于题目给出的两者速度，相同时刻P的横坐标永远会比Q的横坐标小，因此不存在能使OPQC为等腰梯形的t值。
（3）存在，t=13/3。

Answer 4

解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，∵C（4，3），∴OD=4，CD=3，OC=√（OD2 CD2）=√42 32=5，①点Q在OC上时，设Q点坐标为（x，y），则x/4=y/3=2t/5，接到的x=8/5t，y=6/5t，∴点Q的坐标是（8/5t，6/5t）；②点Q在CB上时，点Q的横坐标是2t-5 4=2t-1，纵坐标是3，∴点Q的坐标是（2t-1，3）；（2）点P到达终点A的时间为：14÷1=14秒，点Q到达终点B的时间为：（14-4 5）÷2=7.5秒，∵有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，∴运动时间t的取值范围是0≤t≤7.5，设存在t的值，使得OPQC为等腰梯形，过点Q作QE⊥x轴于点E，则DE=t-4×2=t-8，CQ=2t-OC=2t-5，∴t-8=2t-5，解得t=-3，不符合题意，∴不存在t的值，使得OPQC为等腰梯形；（3）梯形OABC的面积=1/2（14-4 14）×3=36，∵CQ=2t-5，OP=t，∴梯形OPQC的面积=1/2（2t-5 t）×3=（9t-15）/2，∵PQ把梯形OABC的面积分成相等的两部分，∴（9t-15）/2=12×36，解得t=17/3秒，∵0＜17/3＜7.5，∴存在t=17/3，使得PQ把梯形OABC的面积分成相等的两部分，此时，点P的坐标是（17/3，0），点Q的横坐标是2×17/3-1=31/3，纵坐标是3，∴点Q的坐标是（31/3，3）．