Question

已知向量组α，β，γ线性无关,而向量组α，β，γ，η线性相关

（1）证明:向量η一定由向量组α，β，γ线性表示 （2）表示法是唯一的

Answer 1

（1）由于α，β，γ，η线性相关，则存在一组不全为零的常数k1,k2,k3,k4，满足
k1α+k2β+k3γ+k4η=0【1】
假设k4=0，则有k1α+k2β+k3γ=0
由于α，β，γ线性无关，则k1=k2=k3=0，这与k1,k2,k3,k4不全为零矛盾！
因此k4≠0
从而η=-(k1/k4)α-(k2/k4)β-(k3/k4)γ
即向量η一定由向量组α，β，γ线性表示
（2）
设有两组分别不全为0的数：
η=j1α+j2β+j3γ【1】
η=k1α+k2β+k3γ【2】
【1】-【2】，得到
0=(j1-k1)α+(j2-k2)β+(j3-k3)γ
由于α，β，γ线性无关，则j1-k1=j2-k2=j3-k3=0
则k1=j1, k2=j2, k3=j3
因此表示法唯一