Question

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB。

如图,在直角坐标系中,点A的坐标(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB,点C为x轴正半轴一动点（OC〉1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E。
（1）当点C在什么位置时，三角形CBO是直角三角形
( 2）随着点C位置的变化，∠DAC的大小是否发生变化，若没有发生变化，求出∠DAC的度数，若有变化，请说明理由
（3）当OC=3时，试判别四边形OBDE的形状，并求出四边形OBDE的面积

Answer 1

1): <COB=60度
COB为直角三角形时， <BOC=30度
OC=2OB=2
C（2， 0）
2）：<DAC=60度 不变。
三角形OBC全等于三角形ABD（OB= AB; BC=BD, 夹角相等）
所以<BAD=<<BOC=60度
<DAC=120-60=60度。
3）： OE=OA* tan60=根号3；
BC^2 =(3-1/2)^2 +(根号3/2)^2=7
BD=BC=根号7.
OB//DE
是梯形。
<E=30度

追问

第3小题看不懂，可以再讲一下吗
o哦，我会了，尽管你的方法用不到 但谢谢你哈

追答

三角形AOE是直角三角形。
OE=根号3.

作BF垂直于x轴。
CF=OC-OF=3-1/2=5/2;
BF=根号3/2
三角形CBF中，BC^2= 25/4 + 3/4 =7
BC=根号7.

OB//DE(60度内错角相等， 或同旁内角互补60 ， 120）。

追问

面积呢

追答

看掉了。
上底：OB=1
EA=2;
AD=OC=3
下底： DE=5
高OG垂直于AE
高： OG=1/2OE=根号3/2

面积=1/2* （1+5）*根号3/2
=3根号3/2

Answer 2

1、角AOB = 60°，当角COB = 90° 时，角OCB = 30°，所以，此时OC = 2OB = 2
即当C在（2,0）点时，三角形COB为直角三角形。
2、由题意知，角BAC = 120° ，角BDA =60°，所以角BAC + 角BDA =180°，所以，ABDC四点共圆，所以，角DAC = 角DBC = 60°，是个常量，与C点位置无关。
3、角DAC = 角BOA = 60°，OB//DE,四边形OBDE是梯形。
由A向OB作垂线，交OB于F，则AF　＝　根3／2
角OAE　＝角DAC = 60° ，所以AE = 2，由B向X轴作垂线，易得BC=BD = 根7，
三角形ABD内余弦定理BD^2 = 1 + AD^2 -2ADcos(60°)，AD =2*根3
梯形面积 = 1/2*（1+2*根3 +2 ）* 根3/2 = (3*根3 + 6) /4

追问

第3题有别的方法吗？ 三角形ABD内余弦定理 我们没有教过