Question

矩阵的秩怎么定义的

本人要求举例子给我看的，不然不行的

Answer 1

Answer 2

♥ 对于增广矩阵，用 {行初等变换} 得到同解方程，适用于求解线性方程组，也适用于求秩。当增广矩阵变换为 {行最简形} 时，它的非0行 = 秩，这里秩揭示了独立方程的个数。∵ 增广矩阵用于求解方程组，∴ 只能用 {行初等变换}，不能用 {列初等变换}，因后者改变了未知量顺序。
♥ 对于一般矩阵的求秩，既可用 {行初等变换}，也可用 {列初等变换}，变换到最后一定能在矩阵左上角出现单位矩阵，其余元素全为0。单位矩阵1的个数 = 矩阵的秩。这里秩反映了 {列向量} 的最大无关数；∵行秩=列秩，∴ 也反映了 {行向量} 的最大无关数。
♥ 有的线性代数用矩阵的 {r 阶子式≠ 0} 来定义秩=r，这种表述既抽象又不便于计算。实际上求秩不是用寻找 {不等于0的 r 阶子式} 的方法，而是用初等变换的方法。

Answer 3

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
　　定义1. 在m´n矩阵A中，任意决定k行和k列 (1£k£min{m,n}) 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
　　例如，在阶梯形矩阵 中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
　　定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A
　　的秩，记作rA，或rankA。
　　特别规定零矩阵的秩为零。
　　显然rA≤min(m,n) 易得：
　　若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
　　由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。