Question

定积分∫(0到π/4)(cosx)^4=

Answer 1

∫(0到π/4)(cosx)^4=1/4+3π/32。

解答过程如下：

∫【0→π/4】(cosx)^4dx

=∫【0→π/4】[(cos2x+1)/2]²dx

=∫【0→π/4】(cos²2x+2cos2x+1)/4

dx

=1/4

∫【0→π/4】[(cos4x+1)/2+2cos2x+1]dx

=1/4

∫【0→π/4】[(cos4x)/2+2cos2x+3/2]dx

=【0→π/4】1/4

[(sin4x)/8+sin2x+3x/2]

=1/4[(sinπ)/8+sin(π/2)+3π/8-0]

=1/4+3π/32

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

Answer 2

∫(0到π/4)(cosx)^4=1/4+3π/32。
解答过程如下：
∫【0→π/4】(cosx)^4dx
=∫【0→π/4】[(cos2x+1)/2]²dx
=∫【0→π/4】(cos²2x+2cos2x+1)/4
dx
=1/4
∫【0→π/4】[(cos4x+1)/2+2cos2x+1]dx
=1/4
∫【0→π/4】[(cos4x)/2+2cos2x+3/2]dx
=【0→π/4】1/4
[(sin4x)/8+sin2x+3x/2]
=1/4[(sinπ)/8+sin(π/2)+3π/8-0]
=1/4+3π/32
扩展资料：
二倍角公式
sin2α=2sinαcosα
tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2)
dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c