Question

高一数学 第19题

Answer 1

1. （a^2-b^2-c^2)tanA+(a^2-b^2+c^2)tanb=0,
   由余弦定理a^2-b^2-c^2=-2bccosA;
   a^2-b^2+c^2=2accosB,
   ∴（a^2-b^2-c^2)tanA=-2bccosA;
   (a^2-b^2+c^2)tanb=2accosB
   ∴（a^2-b^2-c^2)tanA+(a^2-b^2+c^2)tanb=
   =2acsinB-2bcsinA=2c(asinB-bsinA)
   由正弦定理a/sinA=b/sinB

   ∴asinB-bsinA=0
   ∴asinB-bsinA=0,

   故原式=0

2. cos2A/a^2－cos2B/b^2=(1-2sinA^2) /a^2－(1-2sinb^2) /b^2
   =1/ a^2-2sinA^2)/a^2-1 /b^2+2sinb^2 /b^2
   =1/ a^2-1 /b^2-[2sinA^2/a^2-2sinb^2 /b^2]
   
   根据正弦定理:a/sinA=b/sinB.则sinA^2/a^2=sinb^2 /b^2,
   2sinA^2/a^2-2sinb^2 /b^2=0.
   ∴cos2A/a^2－cos2B/b^2=1/ a^2-1 /b^2.

3. a[2cos²(C/2)]+c[2cos²(A/2)]=3b
   a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b
   a(a²+b²-c²+2ab)/(2ab)+c(b²+c²-a²+2bc)/(2bc)=3b
   2ab+2bc=4b²
   a+c=2b