Question

高中圆锥曲线

题目在这里：http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/3584cf36-5b83-42df-a7f3-f860ea000056

Answer 1

如图，已知椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e=√3/2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

(1)解析：∵直线（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点
（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0==>2x-y+1=k(x+2y-2) *
令x+2y-2=0==>x=0,y=1；y=0,x=2
代入*式可知点(0,1)为直线（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所经过的定点
∴b=1
∵椭圆的离心率e=√3/2=√(a^2-b^2)/a==>a^2=4
∴椭圆的标准方程为：x^2/4+y^2=1

(2)解析：∵椭圆长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直
∴直线l：x=2，以AB为直径的圆方程为：x^2+y^2=4
设P是椭圆上异于A、B的任意一点，则P(2√(1-y0^2),y0)
过P作PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ
∴Q(2√(1-y0^2),2y0)
连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点
AQ：k=y0/[√(1-y0^2)+1]==>y=y0/[√(1-y0^2)+1]*(x+2)
∴M(2,4y0/[√(1-y0^2)+1])，N(2,2y0/[√(1-y0^2)+1])
QN方程：k=y0[1-1/(√(1-y0^2)+1)]/[√(1-y0^2)-1]= y0[√(1-y0^2)/(√(1-y0^2)+1)]/[√(1-y0^2)-1]
= y0√(1-y0^2)/(-y0^2)=-√(1-y0^2)/y0
==>y-2y0=-√(1-y0^2)/y0*[x-2√(1-y0^2)]==>y=-√(1-y0^2)/y0*x+2/y0
==>x√(1-y0^2)+y0y-2=0
∴原点到直线QN的距离d= |x√(1-y0^2)+y0y-2|/√[(1-y0^2)+y0^2]=2
∴直线QN与以AB为直径的圆O相切；

Answer 2

(1)直线（2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0过的定点（0,1），是椭圆的顶点，
∴b=1,
离心率=√3/2，
∴a=2,
∴椭圆的标准方程是x^/4+y^=1.
(2)HP=PQ?HQ=PH?

追问

hp=pq

追答

已有人作答。

Answer 3

如果楼主学过参数方程，可以这样做。
（1）由已知得：
直线方程为y= (2-k)/(1+2k) +1，
∴该直线与椭圆交点为（0，1).
∴b²=a²-c²=1 a²=4
椭圆标准方程为x²/4 + y² =1
(2) 设M坐标为（2，y）
由 （1） 知点P（2sinθ, cosθ)。由题意得;
Q(2sinθ,2cosθ)，N(2, y/2 ）
又AQM共线，
y- 2cosθ / 2-2cosθ = 2cosθ/ 2sinθ+2
y=4cosθ/ sinθ+1 ， 则：
直线QN为 cosθy + sinθ x - 2 =0 （用两点式,这一步化简比较繁琐）
以AB为直径的圆半径 为2.，则圆心到该直线距离为
d= 2 / √cosθ²+sinθ² = 2
所以，直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系为相切。