Question

若二次函数f(x)=x²+bx+c,满足f(2)=f（-2），且方程f（x）=0是一个根为1

若对任意的x∈[1/2，+无穷），4m²f（x）+f（x-1）≥4-4m²恒成立，求m的取值范围。

Answer 1

f(2)=f(-2),表明对称轴为x=(2-2)/2=0,因此有b=0
x=1为根，即f(1)=1+c=0,得c=-1
所以f(x)=x^2-1
不等式为：4m^2(x^2-1)+(x-1)^2-1>=4-4m^2
即为(4m^2-1)x^2-2x-4>=0
即4m^2>=(2x+4)/x^2+1=4/x^2+2/x+1
即m^2>=1/x^2+1/(2x)+1/4,
记t=1/x, 则有0<t<=2,
m^2>=t^2+t/2+1/4=(t+1/4)^2+3/16
因为0<t<=2,所以当上式右端的最大值为当t=2时取得，为21/4
因此须有m^2>=21/4
即m的取值范围是m>=√21/2或m<=-√21/2