已知a,b,c属于正实数,求证(a²b²+b²c²+c²a²)/(a+b+c)≥abc

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兰秋荷阿顺
2019-06-16 · TA获得超过3万个赞
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郭敦顒回答:
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
若a=b=c,则(a²b²+b²c²+c²a²)/(a+b+c)=abc
命题成立,
当a,b,c不相等时,不妨设
(a,b)>c=1,则
(a²b²+b²c²+c²a²)/(a+b+c)=(a²b²+b²+a²)/(a+b+1)
abc=
ab,
比较(a²b²+b²+a²)/(a+b+1)与ab的大小,
若a>b时,不妨设b=1,则
(a²b²+b²+a²)/(a+b+1)=(2a²+1)/(a+2),
ab=a,
比较(a²b²+b²+a²)/(a+b+1)与ab的大小,
等价于比较(2a²+1)与(a²+2a)的大小;
即要比较(a²+1)与2a的大小。
∵(a-1)²=a²+1-2a,
∴(a-1)²+2a=a²+1,
∵a>1,∴(a-1)²>1,
∴(a²+1)>2a。
由此上推即证明有
(a²b²+b²c²+c²a²)/(a+b+c)>abc。于是,
(a²b²+b²c²+c²a²)/(a+b+c)≥abc
证毕。
将新月仍秋
2020-03-25 · TA获得超过3万个赞
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要证(a²b²+b²c²+c²a²)/(a+b+c)≥abc,假设命题成立,则有
(a²b²+b²c²+c²a²)/(a+b+c)≥abc
a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c)=a²bc+ab²c+abc²
两边同时乘以2
2(a²b²+b²c²+c²a²)≥2(a²bc+ab²c+abc²)
2(a²b²+b²c²+c²a²)=a²(b²+c²)+b²(a²+c²)+c²(a²+b²)
≥a²(2bc)+b²(2ac)+c²(2ab)
所以命题成立
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塔同和甘誉
2020-01-20 · TA获得超过3万个赞
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要证明不等式
a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c)
成立
即要证明不等式
a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)≥0

2[a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)]≥0

2[a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)]
=(a²b²+c²a²-2a²bc)+(a²b²+b²c²-2ab²c)+(b²c²+c²a²-2abc²)
=a²(b-c)²+b²(a-c)²+c²(a-b)²
≥0恒成立
所以不等式a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c)
成立
此题得证
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