Question

设函数y=f（x）对一切实数x均满足f（2+x）=f（2-x），

且方程f（x）=0恰好有7个不同的实根,则这7个不同实根的和为？(求过程)

Answer 1

解：∵f(x+2)=f(2-x)恒成立。
∴y=f(x)的图像关于直线x=2对称。
∴f(x)的图像与x轴的交点也是关于直线x=2对称的。
∴方程f(x)=0的所有实数根也是关于2在数轴上对称分布的。
∴一旦在2的左侧取到实数根，一定也能在2的右侧取到相应实数根。
且两根之和为2×2=4.
∵有七个根。
∴有一根为2，左右各对应三个根。
∴七根之和为4+4+4+2=14

Answer 2

一) 用图像法分析
因为f(2+x)=f(2-x)
所以f(x)函数图像关于直线x=2对称，
特殊的f(x)=0时与X轴的交点也是关于 x=2对称的。
即7个实数根是关于X=2两两对称的，
既然是两两对称应该是偶数个根，现在是7个说明有一个根在对称轴上也就是 x=2
设7个根分别是从左到右x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7
则有x1+x7=4， x2+x6=4 x3+x5=4 x4+x4=4(也就是X4 在对称轴上 X4=2)
所以7个根的和为4+4+4+2=14

Answer 3

因为 f（2+x）=f（2-x），
所以 f（2+(x-2))=f(2-(2-x)) =>f(4-x)=f(x)
所以对称轴为直线x=(4-x+x)/2=2;
所以有一个根是x=2，其他的就不知道了，可能是条件不够吧