Question

设A.B均为n*n的矩阵,则当秩（A）=秩（BA）时，AX=0与BAX=0同解？怎么证明

Answer 1

=>若AX=0,则BAX=0,则AX=0的解一定是BAX=0的解,
<=若BAX=0,由：秩（A）=秩（BA）则AX=0与BAX=0的基础解系所含向量组的个数相等，设Xi,i=1,2,…,k是BAX=0的一组基础解系，现在来说明AXi=0,假如对某个Xj,有AXj≠0,设AX=0的一组基础解系为ηi,i=1,2,…,k,显然有BAηi=0,由AXj≠0,那么向量组ηi,Xj,i=1,2,…,k线性无关，又由于BAXj=0,所以ηi,Xj,i=1,2,…,k是BAX=0的一组线性无关的解，那么BAX=0的基础解系的个数大于AX=0的基础解系的个数，这就产生了矛盾，所以Xi,i=1,2,…,k一定是AX=0的解。
从而得到结论

追答

补充：上面应该是基础解系所含向量的个数

追问

谢谢谢谢，终于解决了！！