Question

要使不等式根号x+根号y≤k根号(x+2y)对所有正数x,y都成立,求k的最小值

Answer 1

将原不等式两边同除以 √y 变换为 √(x/y)+1≤k√[(x/y)+2]
令 u=x/y>0，则 1+√u≤k√(u+2)，∴ k≥(1+√u)/√(u+2)；
当 u=x/y→0﹢，k→1/√2；当 u→+∞，k→1；
令 k'={(1/√u)√(u+2)-(1+√u)[1/√(u+2)]}/(u+2)=0，即 (1/√u)√(u+2)-(1+√u)[1/√(u+2)]=0；
解得 u=4；
∴ k≥(1+√4)/√(4+2)=3/√6=√6/2；

Answer 2

化简不等式得：K≧（√X+√Y）/√（X+2Y）
根据平方根性质，有X≧0；Y≧0；X+2Y>0(分母≠0）
X>-2Y或Y>-X/2 综合以上条件只有满足Y＝0或X＝0不等式才有意义。
当Y＝0时，K≧√X / √Y，即K≧1 ，最小值是K＝1；
当X＝0时，K≧√Y / √2Y，即K≧√2 / 2，最小值是K＝√2 / 2