Question

1•1!+2•2!+...+n•n!=(n+1)!-1 用数学归纳法证明

Answer 1

证明1当n=1时，左边=1*1!=1,右边=(1+1)!-1=2-1=1
即左边=右边
2假设n=k（k≥1）是结论成立
即1•1!+2•2!+...+k•k!=(k+1)!-1
那么当n=k+1时，
1•1!+2•2!+...+k•k!+（k+1）（k+1）!
=(k+1)!-1+（k+1）（k+1）!
=(k+1)!+（k+1）（k+1）!-1
=[1+（k+1）]（k+1）!-1
=（k+2）（k+1）!-1
=（k+2）!-1
=（k+1+1）!-1
即n=k+1式结论成立
故综上知原命题成立。

Answer 2

n=1时 1x1！=1=（1+1）！-1=1
设当n=k时成立 即 1x1！+2x2！+。。。。+kxK!=((k+1)!-1
当n=k+1时
1x1！+2x2！+。。。。+kxK!+（k+1)(k+1）！=（k+1)(k+1）！+(k+1)!-1
=（k+1）！（k+1+1)-1
=（k+1）！(k+2)-1
=(k+2)!-1 也成立
所以 1•1!+2•2!+...+n•n!=(n+1)!-1 成立

Answer 3

1° n=1时显然成立.
2° 假设当n=k时成立，则
　　 1•1!+2•2!+...+k•k!=(k+1)!-1.
　　当n=k+1时，
　　1•1!+2•2!+...+(k+1)•(k+1)!=(1•1!+2•2!+...+k•k!)+(k+1)•(k+1)!
=(k+1)!-1+(k+1)•(k+1)!
=(k+2)!-1.
故当n=k+1时结论成立.
由1°，2°，可知结论对n∈N+成立.

Answer 4

证明：
n=1时，1•1!=2=(1+1)!-1显然成立；
假设当n=k-1(k>=2)时成立，即1•1!+2•2!+...+(k-1)•(k-1)!=k!-1 ,
那么当n=k时，有1•1!+2•2!+...+k•k!=k!-1 +k•k!=k!(1+k)-1=(k+1)!-1。
综上所述，1•1!+2•2!+...+n•n!=(n+1)!-1成立。

Answer 5

①n=1时成立②假设n=k时成立，即1×1！+……+k*k!=(k+1)!-1 那么，当n=k+1时，1*1!+……+(k+1)*(k+1)!=(k+1)!-1+(k+1)*(k+1)!=(k+2)!-1 命题得证 希望对你有帮助！