Question

在三角形ABC中，若acosA+bcosB=c cosC,则三角形ABC的形状是？

Answer 1

由正弦定理，a:b:c＝sinA:sinB:sinC，所以由acosA+bcosB=ccosC得sinAcosA＋sinBcosB＝sinCcosC，所以sin(2A)＋sin(2B)＝sin(2C)和差化积，2sin(A+B)cos(A-B)＝sin(2C)＝2sinCcosC，所以cos(A-B)＝cosC因为A，B，C都是三角形的内角，所以A－B＝C，所以A＋B＋C＝2A＝180°，A＝90°所以，三角形ABC为直角三角形

Answer 2

如下：令k=a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a=ksinA
b=ksinB
c=ksinC
代入acosA+bcosB=ccosC，并约去k
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC
sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
sin(A+B)=sin(180-C)=sinC
所以cos(A-B)=cosC
所以A-B=C
A=B+C
所以A=90
所以是直角三角形

Answer 3

cosA=（b平方+c平方-a平方）/2bc,同理可得cosb和cosc
所以acosA+bcosB=ccosC可转化为
（b平方+c平方-a平方）/2bc+（a平方+c平方-b平方）/2ac=(a平方+b平方-c平方)/2ab
化简得2a平方b平方-a四次方-b四次方=-c四次方
即a平方+b平方=c平方,所以这个三角形为直角三角形