Question

高中数学三角函数试题

Answer 1

由A3+B3=(A+B)*(A2-AB+B2)知cosx^3+sinx^3=(cosx^2+sinx^2-sinxcosx)(cosx+sinx)=1
此式标为
（1）式.
而)(cosx+sinx)^2=cosx^2+sinx^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx
此式标为
（2）式
将二式代入一式得(cosx+sinx)（1-【（cosx+sinx)^2-1】/2）=1
设(cosx+sinx)=X
则x[1-(x^2-1)/2]=1
整理得3x-x^3=2
设f(x)=3x-x^3
求倒得f*(x)=3-3x^2=3(1-x^2)=3(1-x)(1+x)
可知f(x)图像如图
易知f(x)=0,f(1)=2
而√2≥x≥-√2又f(√2)=√2,f(-1)=-2,f(-√2)=-√2,如图，在x的范围内只有当x=1时3x-x^3=2
所以解得cosx+sinx=1

Answer 2

cosx换元为A，sinx换元为B。
A^3代表A的三次方.A^2代表A的二次方.*是乘。

第一步：A^3+B^3=(A+B)(A^2-A*B+B^2)=1
=>[(A+B)*(A^2-A*B+B^2)]^2=1
=>经过整理得
2A^3*B^3-3A^2*B^2=0
此式标为
（1）式.

第二步：（A+B)^2=A^2+B^2+2AB
此式标为
（2）式.

所以有第二步知，只要知道A*B即可求
A+B.而求A*B可从（1）式得解。经过提公因数可知有两种情况
，1况：cosx与sinx都不为0，得cosx*sinx=3/2,代入（2）式并开平方得
cosx+sinx=2,显然cosx与sinx不能同时为1，所以不成立。

2况：若满足（1）式，则cosx与sinx必须有一个为0，所以综上可知sinx+cosx=1.