Question

矩阵A:m*n,B:n*s,证明 R(A)+R(B)<=n+R(AB)

Answer 1

先约定一下记号.
以下用En表示n阶单位阵, 用[X,Y;Z,W]表示分块矩阵:
X Y
Z W

考虑(n+m)*(n+s)分块矩阵C = [En,B;A,0].
可以证明: A, B各自的列极大线性无关组的所在列是线性无关的, 因此r(C) ≥ r(A)+r(B).
取(n+m)*(n+m)分块矩阵P = [En,0;-A,Em], 可验证PC = [En,B;0,-AB].
再取(n+s)*(n+s)分块矩阵Q = [En,-B;0,Es], 可验证PCQ = [En,0;0,-AB].
而易得|P| = 1, |Q| = 1 (P, Q分别为下三角阵和上三角阵), 故P, Q均可逆.
故r(C) = r(PCQ) = r(En)+r(-AB) = n+r(AB).
即有r(A)+r(B) ≤ n+r(AB).