Question

如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF． （1）证明：四边形AECF是矩形； （

如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．（1）证明：四边形AECF是矩形；（2）若AB=8，求菱形的面积．

Answer 1

（1）
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC
又∵AB=AC
∴△ABC是等边三角形
∵E是BC的中点
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一性质）
∴∠1=90°，
∵E、F分别是BC、AD的中点
∴AF=1/2AD EC=1/2BC
∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC且AD=BC
∴AF∥EC且AF=EC
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵∠1=90°
∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
（2）在Rt△ABE中
AE^2=8^2-4^2=48
AE=4√3
∴S菱形ABCD=8×4√3=32√3