Question

高数几个问题（求过程）

1、求证：方程cosx-xsinx=0，在（0，π/2）内至少有一个实根（用罗尔定律）
2、已知x＾3+ysinx+e＾y=1，求dy
3、y=sin＾2（x），求dy
4、已知y=arctant，x=ln（1+t＾2），求dy/dx
5、设y=xe＾（2x），求d＾2（y）/dx＾2
6、，求lim（x→0）（（e＾x）-1）/sinx
7、求lim（n→∞）（（5n＾2）-n）/（n+1）（n-3）
8、已知f（x）={（e＾x）-1，x大于等于0；x＾2，x小于0，请判断f（x）在0上是否连续
9、求函数f（x)=（x＾3）-3x+1的导数为零的点

Answer 1

1、罗尔定理简述：f(a)=f(b)，则在区间(a,b)上至少有一点ξ，使得f'(ξ)=0
设f(x)=cosx-xsinx, 则F(x)=∫f(x)dx=∫(cosx-xsinx)dx=xcosx+C
F(x)在[0,π/2]上连续，在(0,π/2)上可导，且有F(0)=F(π/2)=0+C
∴根据罗尔定理，在区间(0,π/2)上，至少存在一点ξ，使得 F'(ξ)=0
而F'(x)=f(x)，∴至少存在一点ξ，使得 f(ξ)=cosx-xsinx=0
即 方程cosx-xsinx=0，在(0，π/2)内至少有一个实根ξ
2、x^3+ysinx+e^y=1，两边取微分，可得
3x^2dx+sinx*dy+ycosxdx+e^y*dy=0
∴dy=(3x^2+ycosx)/(sinx+e^y)*dx
3、y=(sinx)^2, dy=2sinx*dsinx=2sinxcosxdx=sin2xdx
4、y=arctanx, x=ln(1+t^2)，是求dy/dt吧？
dy/dx=1/(1+x^2), dx/dt=2t/(1+t^2)
dy/dt=dy/dx*dx/dt=1/(1+x^2)*2t/(1+t)^2
5、y=xe^(2x), dy/dx=e^(2x)+x*e^(2x)*2=(1+2x)e^(2x)
d^2y/dx^2=2e^(2x)+(1+2x)e^(2x)*2=4(1+x)e^(2x)
6、lim[(e^x-1)/sinx] x->0
=lim[x/sinx] 等价无穷小替换：e^x-1~x
=lim[1/(sinx/x)]
=1/lim(sinx/x)
=1/1 直接应用极限结果：lim(sinx/x)=1 (x->0)
=1
7、lim[(5n^2-n)]/[(n+1)(n-3)] n->∞
=lim[(5n^2-n)]/[(n^2-2n-3)]
=lim[(10n-1)/(2n-2)] 洛必达法则
=lim[10/2]
=5
8、x≥0时，limf(0)=e^0-1=0 x->+0
x<0时，limf(0)=0^2=0 x->-0
f(x)从左右趋近于0时，左右极限相等，故f(x)在0说连续
9、f(x)=x^3-3x+1, f'(x)=3x^2-3
导数为0时，有 f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=0
∴解得 x=±1，此时f(1)=1-3+1=-1, f(-1)=-1+3+1=3
∴导数为0的点为(1,-1), (-1,3)

Answer 2

hrcren的 (2),(4),(6)回答可以改正/改善.

(2)微分x^3+ysinx+e^y=1，可得
3x^2dx+sinxdy+ycosx dx+e^y dy=0
∴dy= - (3x^2+ycosx)/(sinx+e^y)*dx
(4)x=ln(1+t^2)--------------------------(1)
dx/dx=1=2t/(1+t^2)dt/dx
dt/dx=(1+t^2)/2t
从(1),e^x=(1+t^2)
t=±(e^x-1)^(1/2)
y=arctan(t)
dy/dt=[1/(1+t^2)]
dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=[1/(1+t^2)] *(1+t^2)/ (2t)
=1/(2t)=±(1/2)(e^x-1)^(-1/2)
(6)lim（x→0）（（e^x）-1）/sinx
=lim（x→0）e^x/cosx (洛必达法则)
=1

(1)补充.
求证：方程cosx-xsinx=0，在（0，π/2）内至少有一个实根（用罗尔定律）

x=0.86033

Answer 3

这几天应该是考高数下册吧……