Question

在三角形ABC中,cosC+(cosA-根号3sinA)cosB=0,(1)求角B,(2)若a+c=1,求b的范围

Answer 1

(1)cosC+(cosA-根号3sinA)cosB=0
-cos（A+B）+(cosA-根号3sinA)cosB=0
sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-√3sinAcosB=0
sinAsinB-√3sinAcosB=0
siA不等于0
sinB-√3cosB=0
tanB=√3
B=π/3
(2)a+c=1
a²+2ac+c²=1
b²=a²+c²-2accosB=1-2ac-ac=1-3ac
∵a+c=1，1 ＞ a＞0 ，1 ＞c＞0
故可令 a=sin²α， c=cos²α 0＜α＜π/2

1-3ac=1-3sin²αcos²α=1-3/4( sin2a)²=1-3/4 （1-cos4α）/2=1-3/8+3/8cos4α=5/8+3/8cos4α
0＜α＜π/2 0＜4α＜2π
cos4α=1 1-3ac 有最大值 1 (此时α=0 由于 0＜α 故最大值＜1)
cos4α=-1 1-3ac 有最小值 1/4 (此时 4α=π ，α=π/4 a=c=sin²α=1/2 )
1 ＞b²≥1/4
1 ＞b≥1/2

Answer 2

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Answer 3

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