Question

（2014?武汉模拟）如图，在△ABC中，∠B=π2，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿P

（2014?武汉模拟）如图，在△ABC中，∠B=π2，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．（Ⅰ）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE；（Ⅱ）当棱锥A′-PBCD的体积最大时，求PA的长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，设F为A′B的中点，连结PF，FE．
则有EF∥BC，EF=

1

2

BC，PD∥BC，PD=

1

2

BC，
∴DE∥PF，又A′P=PB，
∴PF⊥A′B，
故A′B⊥DE．
（Ⅱ）解：令PA=x（0＜x＜2），则A′P=PD=x，BP=2-x．
∵A′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，
∴A′P⊥平面PBCD．
∴V_A′-PBCD=

1

3

Sh=

1

6

（2-x）（2+x）x=

1

6

（4x-x³）．
令f（x）=

1

6

（4x-x³），
由f′（x）=

1

6

（4-3x²）=0，得x=

2 3

3

．
当x∈（0，

2 3

3

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（

2 3

3

，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴当x=

2 3

3

时，f（x）取得最大值，
故当V_A′-PBCD最大时，PA=

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