Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AC，AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AC，AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．（1）在BD所在直线上找出一点P，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；（2）求直线BD的函数关系式；（3）直线BD上是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）（4分）
正确画出平行四边形ABCP．                           （2分）
叙述画图过程合理．                                 （4分）
方法一：在直线BD上取一点P，使PD=BD
连接AP，PC．                                        （1分）
所以四边形ABCP是所画的平行四边形．                  （2分）
方法二：过A画AP∥BC，交直线BD于P，
连接PC．                                            （1分）
所以四边形ABCP是所画的平行四边形．                  （2分）

（2）（4分）
∵AB=AC=4，BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=2．
∴B（0，4），D（2，0）．                            （2分）
设直线BD的函数关系神肢渗式：y=kx+b，
得

b＝4 2k+b＝0

解得

b＝4 k＝?2

．   游脊                   （3分）
∴直线BD的函数关系式：y=-2x+4．                    （4分）

（3）（6分）
设M（a，-2a+4）．                                  （2分）
分三种情况：
①AM=AC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴a²+（-2a+4）²=16．解得a1＝0，a2＝

16

5

．
∴M₁（0，4），M2(

16

5

，?

12

5

)．               （3分）
②MC=AC．
∵MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴（4-a）²+（-2a+4）²=16．
解得a3＝4，a4＝

4

5

．
∴M₃（4，-4），M4(

4

5

，

12

5

)．                  （4分）
③AM=MC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，∴a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²，解得a₅=2．
∴M₅（2，0），这时M₅点在AC上，构不成三角形，舍去． （5分）
综上所述，在直线BD上存在四点，饥态即M₁（0，4），M2(

16

5

，?

12

5

)，M₃（4，-4），M4(

4

5

，

12

5

)符合题意．  （6分）