Question

如图，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，（1）求证：DE是⊙O

如图，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形．（3）在第（2）条件下探索OBED的形状．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OD、DB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E为BC边上的中点，
∴CE=EB=DE，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°，
∴∠EDO=∠1+∠4=90°，
∵D为⊙O上的点，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∠CAB=45°．
理由是：∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=45°，
∴∠DOA=180°-45°-45°=90°=∠EDO，
∴DE∥AO，
∵E为BC中点，OA=OB，
∴EO∥AD，
∴四边形AOED是平行四边形，
即当∠A=45°时，四边形AOED是平行四边形．

（3）解：OBED的形状是正方形．
理由是：∵∠EDO=∠DOB=∠EBA=90°，OB=OD，
∴四边形OBED是正方形，
即OBED的形状是正方形．

Answer 2

引用软件神罚552的回答：
解答：（1）证明：连接OD、DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∵E为BC边上的中点，∴CE=EB=DE，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°，∴∠EDO=∠1+∠4=90°，∵D为⊙O上的点，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∠CAB=45°．理由是：∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=45°，∴∠DOA=180°-45°-45°=90°=∠EDO，∴DE∥AO，∵E为BC中点，OA=OB，∴EO∥AD，∴四边形AOED是平行四边形，即当∠A=45°时，四边形AOED是平行四边形．（3）解：OBED的形状是正方形．理由是：∵∠EDO=∠DOB=∠EBA=90°，OB=OD，∴四边形OBED是正方形，即OBED的形状是正方形．

题目中根本没有给出DE=BE这一条件。需证明。