Question

已知函数f(x)=(x2-2ax)ex，g(x)=clnx+b， 根号2是函数y=f(x)的极值点，

已知函数f(x)=(x2-2ax)ex，g(x)=clnx+b， 根号2是函数y=f(x)的极值点，其中e是自然对数的底数. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)直线l同时满足: ①l是函数y=f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线; ②l与函数y=g(x)的图象相切于点P(x0，y0)，x0∈[e-1，e].求实数b的取值范围.

Answer 1

解:(Ⅰ)∵f(x)=(x2-2ax)ex
∴f'(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+2(1-a)x-2a]ex…(2分)
由已知，f′(
2
)=0，∴[2+2
2
(1-a)-2a]e
2
=0，
∴2+2
2
-2a-2
2
a=0，得a=1
…(4分)
(Ⅱ)f(x)=(x2-2x)ex，∴f'(x)=(x2-2)ex∴f(2)=0，f'(2)=2e2
函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线l的方程为:y=2e2(x-2)，
∵直线l与函数g(x)的图象相切于点P(x0，y0)，x0∈[e-1，e]，∴y0=clnx0+b
又g′(x)=
c
x
，所以切线l的斜率为g′(x0)=
c
x0
，
故切线l的方程为:y-y0=
c
x0
(x-x0)
即l的方程为:y=
c
x0
x-c+b+clnx0得
c
x0
=2e2
-c+b+clnx0=-4e2
⇒
c=2e2x0
b=c-clnx0-4e2
…(8分)
得b=2e2(x0-x0lnx0-2)其中x0∈[e-1，e](10分)
记h(x0)=2e2(x0-x0lnx0-2)其中x0∈[e-1，e]，h′(x0)=-2e2lnx0，
令h'(x0)=0，得x0=1.
x0
(e-1，1)
1
(1，e)
h′(x0)
+
0
-
h(x0)
增
极大值-2e2
减
又h(e)=-4e2，h(e-1)=4e-4e2＞-4e2.
∵x0∈[e-1，e]，∴h(x0)∈[-4e2，-2e2]，
所以实数b的取值范围为:-4e2≤b≤-2e2.