Question

已知f(x)=2x-a2x+1（a∈R）的图象关于坐标原点对称（1）求a的值，并...

已知f(x)=2x-a2x+1（a∈R）的图象关于坐标原点对称 （1）求a的值，并求出函数F（x）=f（x）+2x-42x+1-1的零点； （2）若函数h(x)=f(x)+2x-b2x+1在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围 （3）设g(x)=log4k+x1-x，若不等式f-1（x）≤g（x）在x∈[12，23]上恒成立，求满足条件的最小整数k的值．

Answer 1

解：（1）由题意知f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）=0得a=1
∴f(x)=
2x-1
2x+1
∴F（x）=
2x-1
2x+1
+2x-
4
2x+1
-1=
(2x)2+2x-6
2x+1
由（2x）2+2x-6=0，可得2x=2，
所以，x=1，即F（x）的零点为x=1
（2）h(x)=
2x-1
2x+1
+2x-
b
2x+1
=
(2x)2+2x+1-1-b
2x+1
有题设知h（x）=0在[0，1]内有解，即方程（2x）2+2x+1-1-b=0在[0，1]内有解
b=（2x）2+2x+1-1=（2x+1）2-2在[0，1]内递增，2≤b≤7
所以当2≤b≤7时函数h(x)=f(x)+2x-
b
2x+1
在[0，1]内存在零点
（3）由f-1（x）≤g（x）得log2
1+x
1-x
≤log4
k+x
1-x
k+x≥
(1+x)2
1-x
，显然x∈[
1
2
，
2
3
]时k+x＞0，即k≥
2x2+x+1
1-x
设m=1-x ，由于x∈[
1
2
，
2
3
] 所以m∈[
1
3
，
1
2
]
于是
2x2+x+1
1-x
=
2m2-5m+4
m
=2m+
4
m
-5∈[4，
23
3
]
所以k≥
23
3
满足条件的最小整数k的值是k=8．