Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别为PA，BC的中点，且PD=AD=22．（1）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别为PA，BC的中点，且PD=AD=22．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：取AD中点E，连结ME，NE，
由已知得M，N分别是PA，BC的中点，
∴ME∥PD，NE∥CD，
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面PCD．
（2）证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（3）解：PD⊥平面ABCD，∴PD为三棱锥P-ABC的高，
∵底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，
M，N分别为PA，BC的中点，且PD=AD=2

2

．
∴三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S△ABC?PD=

8 2

3

．