求一个正交变换X=PY ，把下列二次型化为标准形
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二次型f的矩阵A=(4 0 0,0 3 1,0 1 3);
则矩阵A的特征多项式为|A-kE|=|4-k 0 0,0 3-k 1,0 1 3-k|=-(4-k)^2(k-2) ；
即A的特征值 ：k1=k2=4，k3=2；
对于k1=k2=4，解齐次线性方程组（A-4E）x=0，得对应的特征向量为a1=（0,1,1）,a2=(1,0,0)；
对于k3=2，解齐次线性方程组（A-2E）x=0，得对应的特征向量为a3=(0,1,-1);
由于a1,a2,a3为正交向量组，单位化为B1=(0,1/√2，1/√2）B2=(1,0,0) B3=(0,1/√2,-1/√2)
令矩阵P=（B1，B2，B3）=(0,1/√2，1/√2；1,0,0；0,1/√2,-1/√2)
则P为正交矩阵。且二次型f的标准形为f=4y1^2+4y2^2+2y3^2.
则矩阵A的特征多项式为|A-kE|=|4-k 0 0,0 3-k 1,0 1 3-k|=-(4-k)^2(k-2) ；
即A的特征值 ：k1=k2=4，k3=2；
对于k1=k2=4，解齐次线性方程组（A-4E）x=0，得对应的特征向量为a1=（0,1,1）,a2=(1,0,0)；
对于k3=2，解齐次线性方程组（A-2E）x=0，得对应的特征向量为a3=(0,1,-1);
由于a1,a2,a3为正交向量组，单位化为B1=(0,1/√2，1/√2）B2=(1,0,0) B3=(0,1/√2,-1/√2)
令矩阵P=（B1，B2，B3）=(0,1/√2，1/√2；1,0,0；0,1/√2,-1/√2)
则P为正交矩阵。且二次型f的标准形为f=4y1^2+4y2^2+2y3^2.
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深圳圣斯尔电子技术有限公司
2023-06-12 广告
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