Question

已知函数f(x)=2根号3sinxcosx+2cos^2(x)-t在三角形abc中f(A)=-1,b+c=2,若t=3求a的最小值

求你们教教我

Answer 1

已知函数f(x)=2根号3sinxcosx+2cos^2(x)-t在三角形abc中f(A)=-1,b+c=2,若t=3求a的最小值
解析：∵函数f(x)=2√3sinxcosx+2cos^2(x)-t=√3sin2x+cos2x+1-t
=2sin(2x+π/6)+1-t
∵f(A)=-1==> f(A)=2sin(2A+π/6)+1-t=-1==>sin(2A+π/6)=(t-2)/2
当t=3时，sin(2A+π/6)=1/2==>2A+π/6=5π/6==>A=π/3
∵b+c=2==>b=2-c
由余弦定理a^2=c^2+(2-c)^2-2c(c-2)*1/2=c^2-2c+4=(c-1)^2+3
∴当b=c=1时，a取最小值√3

Answer 2

解：
f(x)=2(√3)sinxcosx+2cos²x-t
f(x)=(√3)sin(2x)+cos(2x)+1-t
f(x)=2sin(2x+π/6)+1-t
f(A)=2sin(2A+π/6)+1-t
f(A)=-1、t=3
2sin(2A+π/6)+1-3=-1
sin(2A+π/6)=1/2
有：2A+π/6=π/6、2A+π/6=5π/6
解得：A=0，舍去；A=π/3
a²=b²+c²-2bccosA
a²=b²+c²-2bccos(π/3)
a²=b²+c²-bc…………………………(1)
已知：b+c=2
b²+2bc+c²=4
b²+c²=4-2bc
b=2-c
代入(1)，有：a²=4-3(2-c)c
a²=3c²-6c+4
因为：a＞0，所以：当a²最小时，a亦最小。
(a²)'=6c-6
1、令：(a²)'＞0，即：6c-6＞0
解得：c＞1，
考虑到：b+c=2，有：c∈(1，2)时，a²是单调增函数。
2、令：(a²)'＜0，即：6c-6＜0
解得：c＜1，
考虑到：b+c=2，有：c∈(0，1)时，a²是单调减函数。
故：当c=1时，a²取得最小值，最小值是a²=3×1²-6×1+4=1
而：a=√1=1
因此，a的最小值是1。
此时：a=b=c=1，即△ABC是等腰三角形。

Answer 3

将t=3代入f(x)，即得2sin(2x+π/6)-2；
由f(A)=-1解得A=π/3；
由余弦定理知：a^2=c^2+b^2-2bccosA=(b+c)^2-3bc=4-3b(2-b)=3b^2-6b+4=3(b-1)^2+1
所以当b=1时a有最小值1，此时三角形为边长为1的等边三角形。