Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， ） ，点B在x轴的负半轴上，∠ABO=30°. （1）求过点A、O

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， ） ，点B在x轴的负半轴上，∠ABO=30°. （1）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中 轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作 轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：                    （1）过点A作AF⊥x轴于点F， ∵∠ABO=30°，A的坐标为（1， ）， ∴ BF="3" . ∵ OF="1" , ∴ BO="2" . ∴ B(-2,0). 设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, ），得 ， ∴   …………………………………2分 （2）存在点C. 过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=" -" 1交x轴于点E. 当点C位于对称轴与线段AB的交点时，AC+OC的值最小. ∵ △BCE∽△BAF, ∴ . ∴ ∴C（ ， ）…………………………………4分 （3）存在. 如图，连结AO，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则 ， ∴直线AB为 ，  =" " |OB|| P|+ |OB|| D|=| P|+| D| = . ∵S△AOD= S△AOB-S△BOD = - ×2×∣ x+ ∣=- x+ . ∴ = = .   ∴x1=-   , x2=1(舍去). ∴p(- ,- )  . 又∵S△BOD = x+ , ∴ = = . ∴x1=- ,    x2=-2. P(-2,0)，不符合题意. ∴ 存在，点P坐标是（- ，- ）. ……………

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