如图，AB是⊙O的直径，⊙O过CB的中点D，直线FE过点D，且FE⊥AC于E，FB切⊙O于B，P是线段DF上一动点，过P
如图，AB是⊙O的直径，⊙O过CB的中点D，直线FE过点D，且FE⊥AC于E，FB切⊙O于B，P是线段DF上一动点，过P作PN⊥AB于N，PN与⊙O交于点Q，与DB交于点...
如图，AB是⊙O的直径，⊙O过CB的中点D，直线FE过点D，且FE⊥AC于E，FB切⊙O于B，P是线段DF上一动点，过P作PN⊥AB于N，PN与⊙O交于点Q，与DB交于点M．（1）求证：FE是⊙O的切线；（2）若∠C=30°，AB=2，设DP=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）中，当x为何值时，PQ：PN=1：5．
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（1）证明：连接OD，AD，则AD⊥BC；∵D是BC的中点，
∴AC=AB，
∴∠C=∠OBD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵∠C=30°，
∴∠CDE=60°，皮历行∠NMB=90°-∠B=60°，
∴∠PDM=∠PMD=60°．
∴△PDM是等边三角形．
∴PD=PM=DM=x．
∵∠OBD=30°，AB=2，
∴BD=
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∵∠OBD=30°，
∴BM=2y．
∴BD=BM+MD=2y+x=
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∴y=-
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（3）解：∵PQ：PN=1：5，
设PQ=a，则QN=4a，PN=5a
∵PD2=PQ?（PQ+2QM）=a?（a+8a），
∴PD=PM=3a，MN=PN-PM=2a，
根据（2）的函烂袜数关系式可得：2a=-
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| ||
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∴x=3a=
3
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