Question

若函数y=eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______

若函数y=eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

设f（x）=e^ax+3x，则f′（x）=3+ae^ax，
∵函数在x∈R上有大于零的极值点，
∴f′（x）=3+ae^ax=0有正根，
①当a≥0时，f′（x）=3+ae^ax＞0，
∴f′（x）=3+ae^ax=0无实数根，
∴函数y=e^ax+3x，x∈R无极值点；
②当a＜脊乱0时，由f′（x）=3+ae^ax=0，解得大饥x=

1

a

ln（-

3

a

），
当x＞

1

a

ln（-

3

a

）时，f′（x）＞0，当x＜

1

a

ln（-

3

a

）时，f′（x）＜0，
∴x=

1

a

ln（-

3

a

）为函数的极值点，
∴

1

a

ln（-

3

a

）＞0，解得樱仿档a＜-3，
∴实数a的取值范围是a＜-3．
故答案为：a＜-3．

Answer 2

解：设f（x）=eax+3x，则f′（x）=3+aeax．
若函数在x∈r上樱洞有大芦侍于零的极值点．
即f′陪颂吵（x）=3+aeax=0有正根．
当有f′（x）=3+aeax=0成立时，显然有a＜0，
此时x=
ln（-
）．
由x＞0，得参数a的范围为a＜-3．