已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是
已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函...
已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y＝kx（k＞0）的图象与AC边交于点E．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）记S=S△OEF-S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2），△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，由题意得y1=
| k |
| x1 |
| k |
| x2 |
∴S1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S1=S2，
即△AOE与△FOB的面积相等；
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（
| k |
| 3 |
| k |
| 4 |
∴S△ECF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
∴S△EOF=S矩形AOBC-S△AOE-S△BOF-S△ECF
=12-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=12-k-S△ECF
∴S=S△OEF-S△ECF=12-k-2S△ECF=12-k-2×
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
∴S=-
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 12 |
当k=6时，S有最大值．
S最大值=3；
（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，
过点E作EN⊥OB，垂足为N．
由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，
∴∠EMN=∠MFB．
又∵∠ENM=∠MBF=90°，
∴△EMN∽△MFB．
∴
| EN |
| MB |
| EM |
| MF |
∴
| 3 |
| MB |
4?
| ||
3
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