Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是PD的中点．（Ⅰ）求证：平

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是PD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PC与平面ABM所成角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面ABM的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PA=AD=4，点M为PD中点，∴AM⊥PD
因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD
（Ⅱ）解：设平面ABM与PC交于点N，
因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，
由（Ⅰ）知，PD⊥平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，且∠PNM=∠PCD，
所以tan∠PNM=tan∠PCD=2

2

，
所以cos∠PNM=

1

3

；
（Ⅲ）解：因为CD∥平面ABM，所以C点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离，
由（Ⅰ）知，PD⊥平面ABM于M，则DM就是D点到平面ABM的距离，
因为在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M为PD的中点，DM=2

2

，
则C点到平面ABM的距离等于2

2

．