Question

如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放

如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．下列判断正确的有（　　）①△ABE≌△DCE；②BE=EC；③BE⊥EC；④EC=5DE．A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴CD=

1

2

AC=AB，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，

AB＝CD ∠BAE＝∠CDE AE＝DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），故①小题正确；
∴BE=EC，∠AEB=∠DEC，故②小题正确；
∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，
∴BE⊥EC，故③小题正确；
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=

2

DE，
∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴AB=

2

DE，AC=2

2

DE，
在Rt△ABC中，BC²=AB²+AC²=（

2

DE）²+（2

2

DE）²=10DE²，
∵BE=EC，BE⊥EC，
∴BC²=BE²+EC²=2EC²，
∴2EC²=10DE²，
解得EC=

5

DE，故④小题正确，
综上所述，判断正确的有①②③④共4个．
故选D．