Question

为什么有界不一定收敛？

Answer 1

有界当然不一定收敛，单调有界序列收敛在实数列时是成立的。

收敛函数的x值有界，y值无界限。有界函数的y值有界，x值无界限。收敛函数：是有极限的函数。趋于无穷大（包括无穷小或无穷大），总是逼近某一值，称为函数的收敛。有界函数：设ƒ（x)是区间E上的函数。若对于任意属于E的x，存在常数M>0，使得｜ƒ（x)|≤M，则称ƒ（X)是区间E上的有界函数。

收敛函数：若函数在定义域的每一点都收敛，则通常称函数是收敛的。函数在某点收敛，是指当自变量趋向这一点时，其函数值的极限就等于函数在该点的值。有界函数：对于定义域中的任意一个值，相应的函数值都在一个区间内变化，那函数就是有界的。

收敛函数一定有界（上下界分别就是函数的最大和最小值）但是有界函数不一定收敛，如f(x)在x=0处f(0)=2，在其他x处f(x)=1，那么f(x)在x=0处就不是收敛的，那么f(x)就不是收敛函数，但是f(x)是有界的，因为1≤f(x)≤2。