Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0．且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b1，b2，b3．（Ⅰ）求数列{an

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0．且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b1，b2，b3．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{Cn}对任意自然数n均有c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1成立，求c1+c2+…+c2013的值．

Answer 1

（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）?2=2n-1，
又b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
∴q=3，bn＝3?3n?1＝3n；
（2）

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，即

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn

3n

＝2n+1①，
则n≥2时，

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn?1

3n?1

＝2n?1②，
①-②得，

Cn

3n

＝2，所以Cn＝2?3n（n≥2），
n=1时，C₁=9，
所以Cn＝

2?3n，n≥2 9，n＝1

，
所以c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=9+2?3²+2?3³+…+2?3²⁰¹³
=9+2?

32(1?32012)

1?3

=3²⁰¹⁴；