Question

已知：x根号下(1-y^2)+y根号下（1-x^2）=1,求证x^2+y^2=1

已知：x根号下(1-y^2) + y根号下（1-x^2） =1,求证x^2+y^2=1

写出过程
不要用函数！

Answer 1

证明：

令x=sinA,y=sinB,其中A,B属于[0,π/2]
则有:根号(1-x²)=cosA,根号(1-y²)=cosB
则原来的等式变为
sinAcosB+sinBcosA=1
sin(A+B)=1
所以A+B=π/2,A=π/2-B
sinA=sin(π/2-B)=cosB

x²+y²=sin²A+sin²B=sin²(π/2-B)+sin²B=cos²B+sin²B=1,证毕～

Answer 2

把左边第二项移到右边,平方,化简,再平方,化简就可得结论.
自己试试吧

Answer 3

因为-1<=x<=1，设x=sin(a),(-pi/2<=a<=pi/2)
因为-1<=y<=1，设y=sin(b),(-pi/2<=b<=pi/2)
=> -pi<=a+b<=pi
x根号下(1-y^2) + y根号下（1-x^2） =1 =>
sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) =1 =>
sin(a+b)=1 =>
a+b=pi/2+2*k*pi,(k=...-2,-1,0,1,2,...)
所以a+b=pi/2
x^2+y^2=1