Question

如图，⊿ABC中，∠ABC=∠2C，BD平分∠ABC.求证：AB·BC=AC·CD

Answer 1

∵∠ABC=2∠C，
∴∠C＝1/2∠ABC，
又BD平分∠ABC.，
∴∠ABD＝1/2∠ABC，
又∠A＝∠A，
∴⊿BAD∽⊿CAB。
AB／AC＝DB／BC，
AB·BC＝AC·DB。
∠DBC＝∠C＝1/2∠ABC，
∴DB＝CD，
∴AB·BC＝AC·CD。

Answer 2

由BD平分∠ABC，得∠ABC=2*∠DBC=2*∠DBA
又如题∠ABC=2∠C，得∠DBC=∠DBA=∠C
由两角相等的三角形相似，∠DBA=∠C和∠A=∠A，得三角形ADB和三角形ABC相似
三角形相似则对应边成比例，AB : AC=BC : BD，即AB·BC=AC·BD
又由三角形BCD是等腰三角形，BD=CD
故，AB·BC=AC·CD

Answer 3

∠ABD=∠C，又∵△ABD与△ACB公共角∠A∴△ABD相似于△ACB∴AC/BC=AB/BD∴AB×BC=AC×BD又∵∠DBC=∠C∴BD=CD∴AB×BC=AC×CD