Question

已知a,b,c为有理数，且多项式x^3+ax^2+bx+c能够被x^2+3x-4整除，求4a+c的值,

1：求 2a-2b-c的值2：若abc为整数，且c≥a＞1，试确定abc的大小

Answer 1

因为多项式f(x)=X^3+AX^2+BX+C , 能够被g(x)=X^2+3X-4整除，
由X^2+3X-4=(x+4)(x-1)可知:
(x+4)、(x-1)也分别是f(x)的因子，即f(1)=0, f(-4)=0.

代入得：1+A+B+C=0; -64+16A-4B+C=0;

解得：
(1)4A+C=12.
进一步得到：C=12-4A, B=3A-13

(2)2A-2B-C=2A-2(3A-13)-(12-4A)=14

(3)C=12-4A>=A>1,可得A=2,C=4,B=-7

Answer 2

由已知多项式x^3+ax^2+bx+c能被x^2+3x-4整除，则存在 k,满足
x^3+ax^2+bx+c=（x+k）(x^2+3x-4)
=x^3+(k+3)x^2+(3k-4)x-4k
则有
a=k+3,b=3k-4,c=-4k

4a+c=4(k+3)-4k=12;