Question

计算二重积分:求∫D∫xydxdy,其中D是由y²=2x,y=x-4围成区域？

Answer 1

问：计算二重积分:求∫D∫xydxdy,其中D是由y²=2x,y=x-4围成区域？

答：将原二重积分转化为二次积分。积分区域D是型。D＝{(x,y)|-2≤y≤y，y^2/2≤x≤y＋4}于是∫D∫xydxdy＝∫(-2,4)ydy∫(y^2/2,y+4)xdx=1/2∫(-2,4)[(y+4)^2-(y^2/2)^2]ydy=…=90

问：中间省略号是啥

答：答案是6In2

问：答案不是90嘛

答：y=x² 与y²=x交点为(0,0) (1,1)∫∫xydxdy=∫[0,1]xdx∫[x²,√x]ydy=(1/2)∫[0,1](x^2-x^5)dx=(1/2)×[(x^3)/3-(x^6)/6]|[0,1]=1/12

问：1/12？

答：因为 D为y=2x,y=x,x=2,x=4所围成的区域∫∫{D}x/ydxdy =∫{0，4}dx∫{x,2x}(x/y)dy= ∫{0，4}dx[xlny]{x,2x}= ∫{0，4}x*ln2 dx= 8*ln2