Question

为什么两定积分相乘能转化为重积分？而且一般上下限相同的的两定积分转化后就能利用对称性求解，我想知道

为什么两定积分相乘能转化为重积分？而且一般上下限相同的的两定积分转化后就能利用对称性求解，我想知道，这样转化对两定积分之间没有影响吗（两者之间联系会不会被破坏？）

Answer 1

1、对于一般的二重积分 double integral，仅仅只是一个原则性积分，一般情况下根本是无法积出来的。

2、将二重积分适当地化为累次积分 iterated integral，积分或许就能迎刃而解；累次积分的顺序不对，可能就积分积不出来；有些积分无论怎样都积不出来的。

3、对于能积分出来的累次积分，其中最最特例是被积函数 integrand如同微分方程一般可以完全分离变量 separable ，而积分区域也是最特殊，各自从一侧积分到另一侧，既如同于矩形区域积分，又 如同在圆内用极坐标积分。

这种情况，恰恰就是两个积分的乘积。两个积分的乘积，变成了二重积分，就是这种特例的反演。最典型的例子就是概率统计中的正态函数，也就是误差函数，在从负无穷大到正无穷大的积分，或从0到无穷大的积分。

扩展资料：

积分的线性性质

性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

 

(k为常数）

比较性

性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则

 

性质4 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。

Answer 2

问得好！
楼主的问题，对很多人来说，都是想当然地接受。
毕竟用心读书的人太少了，用心死记硬背的人毕竟是主流！

楼主的问题反过来考虑，就自然而然了：
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1、对于一般的二重积分 double integral，仅仅只是一个原则性积分，
一般情况下根本是无法积出来的。
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2、将二重积分适当地化为累次积分 iterated integral，积分或许就能
迎刃而解；累次积分的顺序不对，可能就积分积不出来；有些积分
无论怎样都积不出来的。
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3、对于能积分出来的累次积分，其中最最特例是被积函数 integrand
如同微分方程一般可以完全分离变量 separable ，而积分区域也是
最最特殊，各自从一侧积分到另一侧，既如同于矩形区域积分，又
如同在圆内用极坐标积分。
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这种情况，恰恰就是两个积分的乘积。
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两个积分的乘积，变成了二重积分，就是这种特例的反演。
最典型的例子就是概率统计中的正态函数，也就是误差函数，在从
负无穷大到正无穷大的积分，或从0到无穷大的积分。
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