Question

高中数学的复数运算的公式分析

Answer 1

　　数学的学习中也有些的知识点是需要学生记忆的，下面是我给大家带来的有关于高中数学的复数运算的公式的介绍，希望能够帮助到大家。
　　高中数学的复数运算的公式
　　1.知识网络图

　　2.复数中的难点

　　(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.

　　(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.

　　(3)复数的辐角主值的求法.

　　(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.

　　3.复数中的重点

　　(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.

　　(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.

　　(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.

　　(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

　　4. ⑴复数的单位为i，它的平方等于-1，即

　　.

　　⑵复数及其相关概念：

　　① 复数—形如a + bi的数(其中

　　);

　　② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a;

　　③ 虚数—当

　　时的复数a + bi; ④ 纯虚数—当a = 0且

　　时的复数a + bi，即bi.

　　⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)

　　⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

　　⑶两个复数相等的定义：

　　.

　　⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

　　注：①若

　　为复数，则

　　若

　　，则

　　.(×)[

　　为复数，而不是实数]

　　若

　　，则

　　.(√) ②若

　　，则

　　是

　　的必要不充分条件.(当

　　，

　　时，上式成立) 5. ⑴复平面内的两点间距离公式：

　　. 其中

　　是复平面内的两点

　　所对应的复数，

　　间的距离. 由上可得：复平面内以

　　为圆心，

　　为半径的圆的复数方程：

　　.

　　⑵曲线方程的复数形式：

　　①

　　为圆心，r为半径的圆的方程. ②

　　表示线段

　　的垂直平分线的方程. ③

　　为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程(若

　　，此方程表示线段

　　). ④

　　表示以

　　为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(若

　　，此方程表示两条射线).

　　⑶绝对值不等式：

　　设

　　是不等于零的复数，则 ①

　　. 左边取等号的条件是

　　，右边取等号的条件是

　　. ②

　　. 左边取等号的条件是

　　，右边取等号的条件是

　　. 注：

　　.

　　6. 共轭复数的性质：

　　，

　　(

　　a + bi)

　　(

　　)

　　注：两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

　　7

　　⑴①复数的乘方：

　　②对任何

　　，

　　及

　　有 ③

　　注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如

　　若由

　　就会得到

　　的错误结论. ②在实数集成立的

　　. 当

　　为虚数时，

　　，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

　　⑵常用的结论：

　　若

　　是1的立方虚数根，即

　　，则 . 8. ⑴复数

　　是实数及纯虚数的充要条件： ①

　　. ②若

　　，

　　是纯虚数

　　.

　　⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

　　注：

　　. 9. ⑴复数的三角形式：

　　. 辐角主值：

　　适合于0≤

　　<

　　的值，记作

　　. 注：①

　　为零时，

　　可取

　　内任意值. ②辐角是多值的，都相差2

　　的整数倍. ③设

　　则

　　.

　　⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

　　，

　　，

　　.

　　⑶几类三角式的标准形式：

　　10. 复数集中解一元二次方程：

　　在复数集内解关于

　　的一元二次方程

　　时，应注意下述问题： ①当

　　时，若

　　>0，则有二不等实数根

　　;若

　　=0，则有二相等实数根

　　;若

　　<0，则有二相等复数根

　　(

　　为共轭复数). ②当

　　不全为实数时，不能用

　　方程根的情况. ③不论

　　为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

　　11. 复数的三角形式运算：

　　棣莫弗定理：
　　高中数学的知识点的口诀
　　高中数学口诀一、《集合与函数》

　　内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。

　　复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

　　指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。

　　函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;

　　正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。

　　两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X是对称轴;

　　求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。

　　幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，

　　奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。

　　高中数学口诀二、《三角函数》

　　三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

　　同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割;

　　中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，

　　顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

　　变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

　　将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

　　余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

　　计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

　　逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

　　万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用;

　　1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;

　　三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;

　　利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集;

　　高中数学口诀三、《不等式》

　　解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

　　高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

　　证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。

　　直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

　　还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。

　　高中数学口诀四、《数列》

　　等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。

　　数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，

　　取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：

　　一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：

　　首先验证再假定，从 K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

　　高中数学口诀五、《复数》

　　虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

　　对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。

　　箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。

　　代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。

　　一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。

　　利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，

　　减法三角法则判;乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

　　三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

　　辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，

　　两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。

　　高中数学口诀六、《排列、组合、二项式定理》

　　加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。

　　两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。

　　排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

　　不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。

　　关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

　　高中数学口诀七、《立体几何》

　　点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

　　垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

　　方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

　　立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。

　　异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。

　　高中数学口诀八、《平面解析几何》

　　有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。

　　笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。

　　两种思想相辉映，化归思想打前阵;都说待定系数法，实为方程组思想。

　　三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。

　　四件工具是法宝，坐标思想参数好;平面几何不能丢，旋转变换复数求。