Question

一道我认为很难的数学题

（2011•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；
（2）分别从当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H与当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的对应边成比例，求得△PBQ各边的长，根据相似三角形的判定，即可得以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；
（4）由x=5秒，求得AQ与AP的长，可得PQ是△ABC的中位线，即可得PQ是AC的垂直平分线，可得当M与P重合时△BCM得周长最小，则可求得最小周长的值．

解答：解：（1）设AC=4ycm，BC=3ycm，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即：（4y）2+（3y）2=102，
解得：y=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=xcm，
∴BP=（10-x）cm，BQ=2xcm，
∵△QHB∽△ACB，
∴ QHAC=QBAB，
∴QH= 85xcm，
y= 12BP•QH= 12（10-x）• 85x=- 45x2+8x（0＜x≤3），
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=xcm，
∴BP=（10-x）cm，AQ=（14-2x）cm，
∵△AQH′∽△ABC，

                                                                           

                                                              

∴ AQAB=QH′BC，
即： 14-2x10= QH′6，
解得：QH′= 35（14-2x）cm，
∴y= 12PB•QH′= 12（10-x）• 35（14-2x）= 35x2- 515x+42（3＜x＜7）；
∴y与x的函数关系式为：y= -45x2+8x      (0＜x≤3)35x2-515x+42   (3＜ x＜7)；

（3）∵AP=xcm，AQ=（14-2x）cm，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴ APAC=AQAB= PQBC，
即： x8=14-2x10= PQ6，
解得：x= 5613，PQ= 4213，
∴PB=10-x= 7413cm，
∴ PQPB= 42137413=≠ BCAB，
∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；

（4）存在．
理由：∵AQ=14-2x=14-10=4cm，AP=x=5cm，
∵AC=8cm，AB=10cm，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ∥BC，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分线，
∴PC=AP=5cm，
∵AP=CP，
∴AP+BP=AB，
∴AM+BM=AB，
∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，
∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm．
∴△BCM的周长最小值为16cm．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．你应该会看得懂吧

追问

感觉你的答案好全面~~~~

追答

谢谢夸奖~~
感觉全面就选为满意答案吧、我也不介意

Answer 2

ok，帮你回答一下，
第一问，开始这点就不说了，根据勾股定理，很简单AC=8，BC=6。这一问虽然不难，但很重要，因为题目给了你一个很重要的提示，就是一个点运动达到终点时，另一个点也停止运动。你看他们的速度，也就是说P最多运动10s，点Q最多运动7s，也就是7秒就结束了。

第二问，两种方案，我用直接发吧，首先确定PBQ就是一个三角形，但是不同的是Q要经过点C，这里就对PBQ的高产生影响，所以要分段，第一段Q在BC上运动，也就是3s以内（自变量的范围）以PB=10-X为底，高为sinB*BQ，sinB=AC/AB=4/5，BQ=2X，带入三角形面积公式（自己算一下）当Q运动到AC时，同样的道理（此处省略很多字，呵呵）

第三问，这种时候都是用假设法，假定存在。那么这个时候的时间必然大于3S，小于等于7S。此时AP=X,而AQ=14-2X，必然有cosA=AP/QP=4/5，（AQP与大三角形是相似的）带入求出X=64/13，这样就确定了运动的时间，从而求得PB和QP看一下他们的比例是否符合要求，因为有直角了，如果比例符合要求，那就相似，否则，不相似。

最后一问，实在说，出题感觉有点偏，而且不好理解。5秒时QP恰好是中位线，此时三角形MBC的面积是确定的，等于是说在面积不变的情况下，求一个使三角形周长最短的情况。那就是当BM=CM的情况（就是等腰的情况，如果这个需要证明，那我也只好无奈的说，没有办法，呵呵）设PM=X，利用勾股定理去解，自己画一下图就看出来了。不明白你就追问吧。

追问

感觉你的回答好有爱~~~很用心的说、

追答

唉，都是从那个时候过来的，又做过教育。实在说，对教育很不满，对标准答案很厌恶，但很多时候只能是无奈啊。所以，如果能给别人点一下，自己悟最好。如果不能，也没办法，力量有限啊，呵呵

Answer 3

(1) AC:BC=4:3 , AC:AB=4：5， BC:AB=3：5
AC=8， BC=6
(2) Q到达终点的时间为（6+8）/2=7 秒， P点到达终点的时间为 10秒， 故 Q点先到达终点，
当Q在BC上运动时， 0<x≤6/2=3， PB=10-x, △PBQ的PB边上的高h=QB*AC/AB=8x/5
y=PB*h/2=4x(10-x)/5,
当Q在CA上运动时， 3<x<7, h=3(14-2x)/5
y=(10-x)*3(7-x)/5=3(10-x)(7-x)/5 4<x<7
所以
y=4x(10-x)/5, 0<x≤=3
y=3(10-x)(7-x)/5 3<x<7
(3)当PQ⊥AB时，h=PQ=3(14-2x)/5
PA=x, 故在直角△PAQ∽直角△ABC
PA/AQ=AC/AB x/(14-2x)=4:5
x=56/13
PQ=42/13, PB=74/13
PQ/PB=42/74 =21/37≠BC/AC， 因此两△不相似
（4）x=5 时，可以求出，P为AC中点， Q为AB中点，连接AM， 显然，PQ为AC的中垂线，
故MC=MA，三角形BCM的周长=BC+MC+MB=BC+MB+MA=6+MB+MA
在△MAB中， 有MA+MB≥AB， M、A、B成直线时取等号
故当M点与Q点重合时，三角形BCM的周长最小，L=BC+AB=16cm

若有任何问题，欢迎提出，满意的话，谢谢采纳

追问

第2问你只答了结果、我就是不懂过程

追答

第2问不是有过程吗？P点一直在AB上运动，△的底边边长为PB，P点运动时间t, AP=1*t=t,
PB=AB-AP=10-t; 而Q点有可能在BC上运动，有可能在AC上运动，在两条边上运动的时候， 高h的函数式是不一样的, 我把这两种情况写在2）里面了啊？
2) Q到达终点的时间为（6+8）/2=7 秒， P点到达终点的时间为 10秒， 故 Q点先到达终点，
当Q在BC上运动时， 0<x≤6/2=3， PB=10-x, △PBQ的PB边上的高h=QB*AC/AB=8x/5
y=PB*h/2=4x(10-x)/5,
当Q在CA上运动时， 3<x<7, h=3(14-2x)/5
y=(10-x)*3(7-x)/5=3(10-x)(7-x)/5 4<x<7
所以
y=4x(10-x)/5, 0<x≤=3
y=3(10-x)(7-x)/5 3<x<7

追问

哦、看到了、谢谢啊~