Question

一． 求各微分方程的通解。1． Xy′－xsin(y/x)－y=02． (x+y) y′+(x－y)=03． y′=y/(y-x)

请教高手帮忙解下数学题，详细解题过程，十分感谢。

Answer 1

1.
xdy/dx-xsin(y/x)-y=0
等式两边同除以x得：dy/dx-sin(y/x)-y/x=0
设y/x=u
则d(ux)/dx=sinu+u
u+xdu/dx=sinu+u
化简并分离变量得：(1/sinu)du=(1/x)dx
两边积分得：ln|cscu - ctgu|=ln|x|+ln|C|
即cscu - ctgu=Cx
将u=y/x回代得到:csc(y/x)-ctg(y/x)=Cx

2.
dy/dx=(y-x)/(y+x)
dy/dx=(y/x-1)/(y/x+1)
设y/x=u
得：u+xdu/dx=(u-1)/(u+1)
化简并分离变量得：(u/(u^2+1)+1/(u^2+1))du=-1/xdx
两边积分得:1/2ln(u^2+1)+arctanu=-ln|x|+C
将u=y/x回代得到：1/2ln((y/x)^2+1)+arctan(y/x)+ln|x|=C

3.
dy/dx=y/(y-x)
dx/dy=(y-x)/y=1-x/y
设u=x/y
则u+ydu/dy=1-u
化简并分离变量得：(2u-1)du=-1/ydy
两边积分得：1/2ln|2u-1|=-ln|y+ln|C|
即(2u-1)^(1/2)=C/y
将u=x/y回代得：((2x/y-1)^(1/2))*y=C