Question

急 急 急在锐角三角形ABC中,a.b.c分别为角A.B.C所对的边,且根号3a-2csinA=0.

在锐角三角形ABC中,a.b.c分别为角A.B.C所对的边,且根号3a-2csinA=0.（1)求角c的大小 (2) 若c=2,求a+b的最大值

Answer 1

(1)、已知化为√3a=2csinA,a/sinA=2c/√3得sinC=（√3）/2，
∵△ABC是锐角三角形∴C＝60°。
（2）由c/sinC＝2R得2R＝2÷（√3）/2=4/√3，
a+b=2RsinA+2RsinB
=2R（sinA+sinB）
=2R*2sin[（A+B）/2]*cos[（A-B）/2]
其中A+B=120°，sin[（A+B）/2]=sin60°=√3/2，2R=4/√3
∴a+b=8/√3*√3/2*cos[（A-B）/2]
=4cos[（A-B）/2]
显然当A=B时a+b获最大值a+b（最大）=4。

Answer 2

（1）、由正弦定理：a/sinA=c/sinC=2R，
——》v3a-2csinA=2v3RsinA-4RsinCsinA=0
——》sinC=v3/2，△ABC为锐角三角形，
——》C=π/3；
（2）、
由均值不等式：vab<=(a+b)/2，
——》ab<=(a+b)^2/4
cosC=v(1-sin^2C)=1/2
由余弦定理：cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，
——》a^2+b^2-4=ab，
——》(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4+3ab<=4+3*(a+b)^2/4，
——》(a+b)^2<=16
——》a+b<=4，
即a+b的最大值为4。

Answer 3

根号3a=2csinA
sinA/a=sinC/c
sinC=根号3/2
锐角三角形，C=60度
s=1/2absinC
c^2=a^2+b^2-2abcosC
(a+b)^2=c^2+4scotC+4s/sinC
a+b=5

Answer 4

注：倒数第三行是和差化积公式。