Question

0比0型求极限

Answer 1

0比0型求极限，要先观察分子分母是否可以因式分解，因式分解之后是否可以进行约分。比如求lim(x->1)(x^2-1)/(x^3-1)，这个极限的分子分母都可以进行因式分解。分子x^2-1=(x-1)(x+1)，分母x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)，显然，分子分母有相同的分式x-1, 可以进行约分，约分后等于lim(x->0)(x+1)/(x^2+x+1)，它就不是一个0比0型的极限了，可以直接代入x=1，结果等于2/3.

有些分母或分子含有根号的0比0型极限，可以利用平方差公式对其进行有理化处理，就很有可能转化成一个非0比0型的极限，代入数值就可以解了。比如求lim(x->0)x^2/(1-根号(1-x^2)), 分母有理化，分子分母同乘以1+根号(1-x^2)，得到lim(x->0)x^2(1+根号(1-x^2))/x^2=lim(x->0)(1+根号(1-x^2))=2.

洛必达法则应用条件

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则