Question

已知方程x^2+bx+c=0及x^2+cx+b=0分别各有两个整数根x1,x2和x1',x2',且x1x2＞0，x1'x2'＞0

求b,c所有可能的值。

Answer 1

解
因为x1x2 >0, x1,x2同号 （1）
x1'x2' >0，
x1'x2'同号 （2）
所以b>0,c>0
又x1+x2=-b<0 （3）

x1'+x2'=-c<0 （4）
有（1），（3）可知x1<0,x2<0,x1'<0,x2'<0
既然已经证得四个根都是负数，而且都是负整数，所以可得b,c均大于0。
可以这样求证
首先看第一个方程，
根＝[-b加减√(b^2-4c)]/2，
其中较大的根为 [-b+√(b^2-4c)]/2≤-1
b^2-4c≤(b-2)^2
c≥b-1
同理，按照第二个方程，可以得到 b≥c-1,
即 c≤b+1,
即b-1≤c≤b+1
（3）由（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：
（i）c=b+1．由韦达定理知
x1x2=-（x1+x2）+1，
所以（x1+1）（x2+1）=2，
所以{x1+1=-1x2+1=-2或{x1+1=-2x2+1=-1
解得x1+x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
（ii）c=b．由韦达定理知
x1x2=-（x1+x2），
所以（x1+1）（x2+1）=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
（iii）c=b-1．由韦达定理知
-（x1′+x2′）=x1′x2′-1
所以（x1′+1）（x2′+1）=2，
解得x1′+x2′=-5，x1′x2′=6，
所以b=6，c=5．
综上所述，共有三组解：（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）。
希望能帮助到你。