Question

为什么级数（-1）^n-1*n*x^n=x/（1+x）^2

Answer 1

问：为什么级数（-1）^n-1*n*x^n=x/（1+x）^2

答：对于级数 (−1)n−1nxn，我们可以使用幂级数展开的技巧来证明其等于 (1+x)2/x首先，我们将级数展开为幂级数的形式，使用幂级数展开的基本公式： 1+x/1=1−x+x^2−x^3+……然后，我们对等式两边进行求导dx/d(1+x/1)=dx/d(1−x+x^2−x^3+…)对左边进行求导，应用导数的链式法则，得到

答：−(1+x)21​=−1+2x−3x2+4x3−…

答：接下来，我们将上式两边乘以 x，得到：−(1+x)2x=−x+2x2−3x3+4x4−… 现在，我们观察级数 (−1)n1 nxn，注意到它的每一项与上式右边相等，只是符号相反。因此，我们可以得出结论：(−1)n−1nxn=−(1+x)2x。最后，我们可以将等式两边的符号取反，得到： (−1)nnxn=(1+x)^2/x因此级数（-1）^n-1*n*x^n=x/（1+x）^2