Question

如图，在△ABC中，已知∠APB=40度，AP平分∠CAB,BP平分∠CBD,求∠BCP的度数？

如图，在△ABC中，已知∠APB=40度，AP平分∠CAB,BP平分∠CBD,求∠BCP的度数？

Answer 1

首先，我们需要理解题目描述的图形。在三角形ABC中，点P是角A和角B的角平分线的交点。已知∠APB=40度，AP平分∠CAB，BP平分∠CBD。我们要求的是∠BCP的度数。

根据角平分线定理，我们有以下关系：

• ∠CAP = ∠PAK

• ∠BPC = ∠PDK

现在，我们可以利用三角形的内角和公式（一个三角形的内角和为180度）来求解：

在三角形APB中，

∠CAB + ∠APB + ∠CBD = 180度

∠CAP + ∠PAK + 40度 + ∠BPC + ∠PDK = 180度

因为我们需要求解∠BCP的度数，所以我们要消除一些变量。我们可以将∠BCP与∠BPC的关系联系起来：

∠BCP = 180度 - ∠CBD

将这个关系代入到上面的方程中：

∠CAP + ∠PAK + 40度 + ∠PDK + (180度 - ∠CBD) = 180度

整理得：

∠CAP + ∠PAK + 40度 + ∠PDK = ∠CBD

由于∠CAP = ∠PAK，∠PDK = ∠BPC，我们可以得到：

2∠CAP + 40度 + 2∠BPC = ∠CBD

进一步整理得：

2(∠CAP + ∠BPC) + 40度 = ∠CBD

由于∠CAP + ∠BPC = ∠CPA + ∠CPB = ∠CPD（P点在角C的角平分线上），所以我们可以得到：

2∠CPD + 40度 = ∠CBD

现在我们可以求解∠BCP的度数：

∠BCP = 180度 - ∠CBD

∠BCP = 180度 - (2∠CPD + 40度)

∠BCP = 180度 - 2∠CPD - 40度

∠BCP = 140度 - 2∠CPD

由于我们已经知道∠APB = 40度，以及∠CPD = ∠CPA + ∠CPB，我们可以将这个关系代入到上面的方程中：

∠BCP = 140度 - 2(40度)

∠BCP = 140度 - 80度

∠BCP = 60度

所以，在△ABC中，∠BCP的度数为60度。

Answer 2

由于∠LCA=40
∘
，因此∠PCB=20
∘
。
又因为AP平分LCAB，所以∠PAC=10
∘
，从而∠BPC=∠PCB+∠PAC=30
∘
。
又因为BP平分CBD，所以∠BCP=∠BPC=30
∘
。

因此，BCP=2×30
∘
=60
∘
。
答案：BCP=60
∘
。

Answer 3

解:作PM丄AB于M，PN丄AC于PQ丄BC于Q，
∵AP平分<CAB，BP平分<CBD，
∴PM=PN，PM=PQ，
<PAB=<CAB/2，<PBD=<CBD/2，
∴PN=PQ，
∴CP平分<BCN，<BCP=<BCN/2，
又∵<CBD=<CAB+<ACB，
<PBD=<PAB+<APB，
<PBD=<CBD/2，
<PAB=<CAB/2，
<APB=<ACB/2，
∴<ACB=2<APB=2x40度=80度∴<BCN=180度一80度=100度
∴<BCP=50度。