Question

高等代数，，老师，帮帮忙

欧式空间V的正交变换一定是单射，因而也是满射。谁有反例，简单点的反例，带证明过程参考最好
不用了了了，我找到例子了。。。。。

Answer 1

命题成立的。因为正交变换在把V的标准正交基变成标准正交基，因此它必定为单射。而线性变换如果是单的，必定是满的。

该命题也可以从矩阵角度进行验证。因为正交变换在V的标准正交基下矩阵时正交矩阵，而正交矩阵时可逆的，因此它必定是列满秩的（说明变换为单），从而是行满秩的（n阶方阵如果是列满秩，则秩为n，故是行满秩。说明映射是满的）。

追问

命题只在有限维空间成立。欧式空间V的正交变换一定是单射，但不一定是满射。。。
例如，在R上定义，对任意的x∈R，线性变换f(x)→x(fx)，它是正交变换，单射，但不是满射。

你说的从矩阵的角度 验证，前提是该正交变换是有限维的。。

追答

是在有限维前提下。