Question

一道几何解答题

Answer 1

设CP于圆相交于点M，连接FM，作MH⊥CD于点H
则由∠FPM=90°，可知FM为直径，∴FM⊥AF
即FM//BC，∴∠MCH=∠PMF。设圆O半径=r
则BD=BF=MH=r，FM=2r，设tan∠PMF=x>0，则
CH=MH/tan∠MCH=r/x，∴CD=CE=DH+HC=r(x+1)/x
连接FD，可知∠FDB=45°，∴tan∠ADB=tan(45°+∠FDP)
=tan(45°+∠FMP)=(1+tan∠FMP)/(1-tan∠FMP)=(1+x)/(1-x)
∴AB=BDtan∠ADB=r(1+x)/(1-x) => AF=AE=AB-BF=2xr/(1-x)
再由BC²+AB²=AC²，而BC=BD+CD,AB=AF+FB,AC=AE+EC
∴(BD+DC)²+(AF+FB)²=(AE+EC)²，注意AF=AE,CD=CE,BD=BF
=>BD²+2BD*DC+DC²+AF²+2AF*FB+FB²=AE²+2AE*EC+EC²
=>BD²+BD*(AE+EC)=AE*EC，带入BD,AE,EC的值即得
r²+r[2xr/(1-x)+r(x+1)/x]=2r²(1+x)/(1-x) => 2x²+x-1=0
∵x>0，∴解得x=1/2 =>CD=r(x+1)/x=3r，AF=2xr/(1-x)=2r
即AB=3r，BC=4r，AC=5r
∴三边之比AB:BC:AC=3：4：5

Answer 2

3:4:5 详细解答麻烦